数学深渊图解(概述和分解)(典藏版5k字)
**数学深渊图解(概述和分解)(典藏版5k字) **
数学深渊图解(概述和分解)(典藏版5k字)
形成共同人类认知、探寻自然或社会的规律，科学研究采用可观测、可测量、可证明的方法。这意味着，人类可以观察、测量某种现象或问题，然后用数学工具形式化描述为严格准确的知识，进而找到对具体自然、社会现象或问题的规律性解释或结论，做出实证或证伪。
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如果有人不相信数学是简单的，那是因为他们没有意识到人生有多复杂。——冯·诺依曼.
人类对自然社会寻找规律的各种认知方法中，语言文字类描述最为宽泛、随意、不确定，技术类描述最为直接、实用，数学类描述最为准确、严格、确定。科学研究领域注重实验测量；非科学研究领域不采用严格数学形式化方法，除了语文工具和技术工具，数学工具也有其应用，此处不作解读( 详情请期待拙著《数据资源概述》和《数据简化技术》)。如果研究者不具备科学思维，则只能用语言文字表达为主的识字思考型思维泛泛而谈，用语文思想理论(这种理论并非科学理论)来思维、讨论，甚至写论文、教学。我国当前缺前者，后者泛滥。总之，数学工具在人类不同认知研究中，都有举足轻重的应用和作用。下面，我们从流行全球的数学的深渊组图来认识一下数学的魅力。
I. 数学深渊图解(概述)
数学深渊(Mathematics trench)来自美国休斯顿大学数学系网页 1-2。
数学深渊图解名词
group theory(群论)：一般叫它抽象代数，就是研究一种特殊的代数结构(群)以及它的性质，这个一般数学系本科生都能学到。
real analysis(实分析)：或者叫实变函数，研究测度，积分，算子等，是微积分的推广，一般数学系本科生也都能学到。
calculus of variations(变分法)：很遗憾这个我不太清楚，或者说忘了。
cryptography(密码学)：这个就顾名思义了。值得一提的是，密码学与数论的关系很紧密(比如说椭圆曲线加密etc)
euclidean spaces(欧氏空间)：就是所谓的R^n，一般提到它时也指它上面的一般的度量(拓扑)，而不仅仅是集合本身。
stochastic calculus(随机微积分)：近来很火的领域，在金融和物理中均有应用。这方面我非常外行，还是留给大神补充了。说到随机积分，就想起了ito这个日本人。
game theory(博弈论)：这个大家或多或少都了解一些，在经济学中应用很广泛。
combinatorics(组合数学)：主要是和计数以及有限结构有关系的一个领域，现在理论和应用均很广泛，也和其他学科有广泛的联系。
complexanalysis/function(复分析/复变函数)：狭义的单变量复变函数研究复平面(以及它的子集上)的全纯和亚纯函数的性质。
holomorphic functions(全纯函数)：在定义域(复平面的子集)上点点解析的函数。注意解析既可以用柯西-黎曼条件定义，也可以用存在幂级数展开定义。
topology(拓扑学)：研究几何空间在满足特殊性质的连续变换(例如下面的同胚)下不变的性质(例如，长度不是一个拓扑性质，但“是否有洞”是)。
metric space(度量空间)：一个在分析中的概念。简单地可以理解成一个集合上有一个符合一定条件的度量，这样我们就是衡量两点间的距离了。
riemann surface(黎曼曲面)：一维复流形，具有很多良好的性质，可以把分析，代数拓扑和代数几何的工具都运用上去。
homeomorphism(同胚)：拓扑中的概念，指两个空间相互之间有一个互逆的连续映射，例如，你可以把橡皮泥捏成一个球或者正方体。
homotopy(同伦)：拓扑中的概念，指一个函数可以“连续”地变成另一个函数。参考下图。但homotopy theory作为拓扑学的一个分支，在二战后直到现在取得了非常长足的发展，早已突破了直觉上的同伦了。(笑)
boolean algebra(布尔代数)：一个特殊的代数结构，以0，1取值，与电路设计和计算机逻辑紧密相关。
banach spaces/hilbertspaces(巴拿赫空间/希尔伯特空间)：满足特定条件的normed(这个中文应该怎么说？)/内积空间。都是实分析/泛函分析主要的研究对象。
Galois theory(伽罗瓦理论)：研究多项式方程的根与这些根的置换群之间的关系的学科。是现代(近代)代数数论的基础。
differential geometry(微分几何)：简单来说，我们想在更一般的曲面(流形)上做微积分的方法。黎曼几何是它的一门子领域，我国著名的数学家陈省身便是20世纪微分几何大师。
groupoids(群胚)：一个范畴学(category theory)中的概念。指每个态射均可逆的范畴。我想这个名字的意思是它(群胚)能产生群吧(笑)。
algebraic topology(代数拓扑)：一个简单(但很有野心)的问题是，我们想把所有空间分类，按照某种标准(比如上面说的，如果两个空间同胚，或者更宽松的映射)。我们关心两个空间是否同胚(或者其他的)。而代数拓扑提供了这样一些代数工具。简单来说，如果空间A,B不同胚，那么他们的某个代数量不同。例如前文所说的“洞”的个数。
p-adic analysis(p进制分析)：诞生于20世纪的学科，来源于数论的需求。简单的说，所有p进制数放在一起构成一个空间，我们想研究这个空间的性质，在这个空间上做“微积分”。但这个空间的性质与我们对欧氏，甚至一般的微分流形的直觉差异巨大。这是个相当有趣如今也相当活跃的学科。
smooth manifold(光滑流形)：微分几何的主要研究对象，意为可以给它一个“光滑结构”的流形。这个流形不光要局部看起来像欧几里得空间，它的“坐标”还要满足一些“光滑性”条件。
hairy ball theorem(毛球定理)：就是说：你永远捋不顺一个球上的毛。在数学上说，球面没有一个不为0的向量场。这个定理来源于微分几何，但也可以用代数拓扑的工具去证明。
algebraic geometry(代数几何)：我们希望解多项式方程，或者至少知道它的解的一些性质(代数)。而多项式方程不光是一个方程，它也能代表几何图形(几何)。这些在代数几何这门学科里得到了统一。这是20世纪乃至到现在相当火热的方向，也非常深刻和有趣。
projective variety(射影簇)：代数几何中的研究对象。射影簇由于其良好的性质(“紧”性)，成为主要研究的对象。而一般的仿射簇，我们也可以将它射影化。类似于将平面加一点就变成了球面。
grobner basis(grobner基)：一个交换代数中的概念。
algebraic number theory(代数数论)：大概可以意为研究解多项式方程的学科。在伽罗瓦理论提出后发展迅猛，在格罗滕迪克提出现代代数几何的概念后，代数数论又得到了进一步的革新。直至今天，代数数论是数学里最古老，也是发展的最快的学科之一。
automorphic forms(自守形式)：模形式的推广，代数数论中的基本工具。意为某个在上半复平面(以及无穷远点)上亚纯，并关于某个离散群作用下不变的函数。
lie algebras(李代数)：在一个向量空间上定义一个“方框”，使得它满足特定性质。lie algebra在表示论，数学物理，代数几何和代数群中应用广泛。
数学深渊图解问答
遇到一张趣图，如果想学数学，恭喜你来到深渊。其行也远，其路也艰，虽千万里，吾往矣。
无知问题Q1：如何才能学好数学?
无畏回答A1：Hilbert:五次，Hermann,最少五次.这是希尔伯特说的,对象是Weyl, 他认为一个数学家在教授一门课的时候要多次重复.学好一门数学课程多次重复是必要的.
无知问题Q2：数学系研究生不考虑研究方向，只想学习掌握知识，那这些理论可以学完吗？或者可以自学到哪个程度？
无畏回答A2：自学完全可以，但不可能“学完”，只能对其中大多数领域有粗浅的了解(像我这样)。如果要做研究就必须要选定一两个具体方向，但有意思的是不同的领域的知识往往都是交汇的。
好了，在“天才少年你好”前面不用翻维基百科，我能写出来的应该就是这些了。当然这张图自然是极不合理。例如很上面的组合数学其实是研究中很热点的方向，而下面的上同调只是代数拓扑中的一个工具。欢迎大家补充and提问。
无知问题Q3：哥们有什么建议指导自学吗？我今年29岁了，学历大专，数学初中还可以，高中一塌糊涂基本没有及格过。但我对数学一直不甘心？？大专毕业后自学了高数、线代、概率论，就是看了下课本了解下会做简单题的水平。现在我还是不甘心，恰巧空闲时间也多，想继续自学数学，所以哥们有什么指导建议吗？(我真不甘心数学一般般，想把数学大都掌握了，而且掌握的很好！100分可以85分以上那种的好)
无畏回答A3：可以尝试先学学复变函数、实变函数和抽象代数找找感觉，这些是之后那些的基础…不过还是不要想着把数学"学完"…慢慢来。部分非科学研究方法的各领域博士亦需要学习。
II. 数学深渊图解(分解)
遇到一张妙图,号称“数学的深渊”。
若非数理精通者，如看天书。
匆匆一暼，尽皆术语，让人汗流浃背。
数学之涩，易理之难。
其行也远, 其路也艰, 虽千万里, 吾往矣。
原图内容略显单薄，历史脉络亦不分明。
量子学派将其扩展整理，集纳更多理科知识。
前后千年，共分八章。
这是一部数学史，也是一部天才简史。
从万物皆数到变量数学；
从欧氏几何到黎曼空间；
……
毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德、笛卡尔、费马、牛顿、莱布尼茨、欧拉、柯西、拉格朗日、伽罗瓦、拉马努金、高斯、黎曼、希尔伯特、庞加莱……
我们希望这张图，带你走出神秘与未知，步入这千年智慧积累，俯瞰整个数学大厦****▇ ▆ ▅ ▃ ▂ ▁
本期编辑｜成城
本期投稿｜量子妹
(注：所引相关素材[1-4]图文版权归原作者所有。)
素材**(910k字)**
\1. Professor of Mathematics, Dr. Mark Tomforde. Mathematics trench.[EB/OL], University of Houston,https://www.math.uh.edu/~tomforde/Images/Abstraction.jpg, visiting date: 2019-08-30Fri
\2. 虎头微分同学. 一张趣图-数学的深渊. [EB/OL], https://zengfk.com.cn/2017/07/24/%E4%B8%80%E5%BC%A0%E8%B6%A3%E5%9B%BE-%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E6%B7%B1%E6%B8%8A/,2017-0724, visiting date: 2019-08-30Fri
\3. wom42 (10级)楼主. 对数学深渊这张图的一些补充. [EB/OL], hupu,https://bbs.hupu.com/26649408.html, 2019-04-06 06:23, visiting date: 2019-08-30Fri
\4. 量子学派(ID：quantumschool)©作者：量子妹. 数学的深渊. [EB/OL], qbit,https://www.huxiu.com/article/305843.html, 2019-06-26 13:55, visiting date:2019-08-30Fri
x. 秦陇纪. 西方哲学与人工智能、计算机; 人工智能编年史; 人工智能达特茅斯夏季研究项目提案(1955年8月31日)中英对照版; 人工智能研究现状及教育应用; 计算机操作系统的演进、谱系和产品发展史; 数据科学与大数据技术专业概论; 数据资源概论; 文本数据溯源与简化; 大数据简化技术体系; 数据简化社区概述. [EB/OL], 数据简化DataSimp(微信公众号),https://dsc.datasimp.org/, http://www.datasimp.org, 2017-06-06.
—END—
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数学深渊图解**(5k字)**
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数据简化DataSimp导读：数学深渊图解包括英语原图和汉译图；前期《数学体系概述、主要分支、学科分类(MSC)、构成联系和应用数学简介》和《世界十大数学猜想及其证明情况》等数学科普。分享或赞赏支持后，公号对话框发“数学深渊”可下载本文PDF。
数学深渊图解**(5k字)**
目录
A数学深渊图解(4k字)
I. 数学深渊图解(概述)
II. 数学深渊图解(分解)
素材**(910k字)**
A数学深渊图解****(4k字)
数学深渊图解**(概述和分解)**
文|秦陇纪，数据简化DataSimp©20190830Fri0810Sat
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简介：数学深渊图解。作者：秦陇纪。素材：媒体微信群聊素材附出处。下载：如需本文5k字34图34页PDF资料，分享或赞赏支持后，公号发“数学深渊”获取链接。版权：科普文章仅供学习，公开部分资料©版权归原作者，请勿用于商业非法目的，数据简化社区保留相应版权。有事留言或邮询QinDragon2010@qq.com。转载：请保留作者、出处、时间等信息，如“出自公号©数据简化DataSimp，作者：秦陇纪，时间：20190830Fri©数据简化SataSmip社区NC非商业授权”等.
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